二进制表示法是计算机科学中最基础的数制系统,其核心特点和表示方法如下:
一、基本概念
符号组成 二进制仅使用两个数字: 0
和 1。
进制规则
采用逢二进一(base-2)的进位机制。例如:
- $2^0=1$,$2^1=2$,$2^2=4$,$2^3=8$,以此类推。
二、二进制表示方法
位权与位置计数法
每一位的数值是2的幂次方,从右至左依次递减。例如:
- 二进制数 1101表示 $1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 13_{10}$。
符号位表示
在计算机中,最高位通常为符号位:
- 0表示正数
- 1表示负数(采用补码表示法)。
三、常见应用与转换
十进制转二进制
采用“除2取余,逆序排列”法。例如:
- $125_{10}$ 转换为二进制为 1111101,不足8位时补零为 01111101。
二进制运算规则
- 加法: 0+0=0,0+1=1,1+1=10 - 减法
- 乘法:0×0=0,0×1=0,1×1=1
- 除法:通过逐位减去除数实现。
实际应用示例
- 判断奇偶数:使用按位与运算(`n & 1`),结果为1则为奇数
- 交换两个数:通过按位异或运算(`a^b`)实现
- 互换二进制奇偶位:使用掩码和位移操作(如 `n & 0xAAAA` 和 `n & 0x5555`)。
四、示例总结
| 十进制 | 二进制(8位) | 符号位说明 |
|--------|----------------|------------|
| +5 | 00000101 | 正数 |
| -5 | 10000101 | 负数(补码)|
| +89| 01011001 | 正数 |
| -89| 11011001 | 负数(补码)。
通过以上方法,二进制可高效表示数值、实现逻辑运算,并作为计算机内部信息处理的基础。