二进制是一种数制，其核心概念和特点如下：
一、基本定义
符号组成 仅由0和1两个数字组成，例如十进制的3表示为11（即$1 times 2^1 + 1 times 2^0$）。
进制规则
- 逢二进一：
当某一位的值达到2时，向高位进1，本位归0。例如：
- $1 + 1 = 10$（二进制）
- $10 + 1 = 11$
- $11 + 1 = 100$（十进制为12）。
二、位与字节
位（bit）
二进制的基本单位，每位只能表示0或1，常用b表示。例如8个bit组成1字节，可表示$2^8 = 256$种状态。
字节（byte）
由8个bit组成，取值范围00000000到11111111，对应十进制的0到255。
三、运算规则
加法运算
- 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（进位）。
- 示例：$1011 + 1010 = 10101$（二进制）。
乘法运算
采用逐位相乘后相加，例如：
$$
begin{array}{c}
& 1 & 0 & 1
times & 1 & 0 & 1
hline
& 1 & 0 & 1
+ & 0 & 0 & 0
+ & 1 & 0 & 1
hline
& 1 & 0 & 1 & 1
end{array}
$$（二进制为101011）。
四、应用与优势
计算机系统
所有数据以二进制形式存储和传输，因其简单性和稳定性。
逻辑运算
与布尔逻辑对应：0表示False，1表示True，便于硬件实现。
五、示例计算
计算二进制数$10001001$对应的十进制值：
$$
1 times 2^7 + 0 times 2^6 + 0 times 2^5 + 0 times 2^4 + 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 128 + 8 + 1 = 137
$$
通过以上要点，二进制作为计算机基础的核心概念，既包含基础运算规则，又与计算机硬件实现紧密相关。若需进一步学习，建议结合具体应用场景（如二进制转十进制工具）进行实践。