二进制数是一种以0和1为基本数码的数制，具有以下核心特性：
一、基本定义
数码与基数 二进制仅使用0和1两个数码，基数为2，遵循“逢二进一”的进位规则。
表示方法
例如：
- $1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11.25_{10}$
- $（110）_2 = 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 6_{10}$
二、与十进制的转换
十进制转二进制（按权展开求和）
通过不断除以2取余数，逆序排列余数得到二进制。例如：
$$13_{10} rightarrow 1101_2$$
具体步骤：
- $13 ÷ 2 = 6$ 余1
- $6 ÷ 2 = 3$ 余0
- $3 ÷ 2 = 1$ 余1
- $1 ÷ 2 = 0$ 余1
结果为 $1101_2$。
二进制转十进制
将二进制数按权展开求和。例如：
$$1011.01_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 + 0×2^{-1} + 1×2^{-2} = 11.25_{10}$$。
三、应用与特性
计算机基础
二进制是计算机运算的基础，因电子元件（如晶体管）可自然表示开/关两种状态。
存储容量
- $N$位二进制数可表示$2^N$个不同数值，最大值为$2^N-1$（无符号数）。
补码表示
计算机中负数采用补码形式存储，最高位为符号位（0表示正，1表示负）。
四、扩展应用
十六进制与二进制转换：
每4位二进制对应1位十六进制（如 $1110_2 = E_{16}$），便于简化运算。
二进制作为计算机领域的核心数制，其规则简洁且与硬件实现高度契合，是理解计算机原理的基础。