根据搜索结果，警察在不同场景下会向家长赠送以下物品或开展相关活动：
儿童安全头盔 
- 泉州洛江交警通过“小熊”公仔形式，鼓励家长和孩子正确佩戴头盔，未佩戴者会获赠儿童头盔。
交通安全教育资料
- 成都交警五分局联合教育局，在学校开展“一盔一带”行动，向学生赠送《小学生道路交通安全读本》，并讲解乘车安全知识。
节日祝福与礼物
- 蚌埠警察妈妈通过视频向孩子表达节日祝福，如“小爱心”贺卡、捶背服务等温馨互动。
交通安全宣传资料
- 广州交警推出《交通安全西游记》系列动画，通过故事形式向儿童普及乘车安全、防走失等知识。
总结：
警察赠送的物品或活动多与交通安全、节日关怀相关，旨在提升公众安全意识并传递温暖。