二进制向量（也称为位向量或比特向量）是计算机领域中一种特殊类型的向量表示方法，其核心特点在于向量的各个分量均以二进制形式存储和运算。以下是关于二进制向量的详细说明：
一、基本定义
组成与表示 二进制向量由一系列二进制位（bit）组成，每个位可以是0或1，通常用8位（1字节）表示一个元素。例如，一个包含4个元素的二进制向量可以表示为：
$$mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3, v_4) = (0110 1010 0101 1111)_2$$
其中，$v_i$表示第$i$个元素，取值为0或1。
与普通向量的区别
普通向量通常使用十进制表示，而二进制向量直接利用计算机底层二进制存储特性，简化了计算过程。
二、核心运算
按位运算
二进制向量的核心运算基于按位操作，包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）等。例如：
- 与运算： 对应位都为1时结果为1，否则为0。 $$v_1 & v_2 = (0110 & 1010) = 0010$$ - 或运算
- 异或运算：对应位不同结果为1，相同为0。 $$v_1 ^ v_2 = (0110 ^ 1010) = 1100$$
加法与减法
二进制向量加法采用逐位相加并处理进位的方式，减法则通过加法实现（即A - B = A + （-B））。例如：
$$v_1 + v_2 = (0110) + (1010) = 10000 (text{二进制}) = 18 (text{十进制})$$
这种运算在计算机中通过位移和按位运算高效实现。
三、应用场景
计算机图形学
用于表示像素、颜色等数据，通过位运算实现快速筛选和操作。
网络通信
在数据压缩、加密算法（如RSA）及网络协议中发挥关键作用。
算法优化
例如双截棍问题中，通过二进制向量和按位运算高效判断可达性。
四、注意事项
二进制向量仅适用于需要利用位级特性的场景，普通向量运算通常直接使用浮点数或整数类型。
实际应用中需注意数据对齐、进位处理等细节，避免溢出或错误。
通过以上分析可知，二进制向量通过位运算实现高效存储与计算，是计算机科学中基础且重要的概念。