奥数七大体系包含多个核心模块，每个模块都有其独特的公式体系。以下是主要模块的公式总结：
一、计算体系
速算与巧算
- 平方和公式：$1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
- 立方和公式：$1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = left[frac{n（n+1）}{2}right]^2$
- 裂项法：$frac{1}{n（n+1）} = frac{1}{n} - frac{1}{n+1}$
- 放缩法：通过放大或缩小项的范围简化计算。
大小比较与估算
- 估算技巧：四舍五入、数位分析等。
定义新运算
- 例如：$a oplus b = a + b + ab$（需根据具体定义调整）。
二、数论体系
整除问题
- 若$a div b = c$（无余数），则$a = b times c$。
约倍与同余问题
- 同余公式：$a equiv b pmod{m}$（$a$和$b$除以$m$余数相同）。
余数性质
- 余数范围：$0 leq r < m$（$m$为除数）。
物不知其数（同余方程）
- 例如：$x equiv 2 pmod{3}$，$x equiv 3 pmod{5}$，通过中国剩余定理求解。
三、几何体系
平面几何
- 直线型问题：两点间距离公式$d = sqrt{（x_2 - x_1）^2 + （y_2 - y_1）^2}$。
- 三角形面积公式：$S = frac{1}{2} times 底 times 高$。
立体几何
- 表面积公式：长方体$S = 2（ab + bc + ca）$，正方体$S = 6a^2$。
- 体积公式：长方体$V = abc$，圆柱体$V = pi r^2 h$。
特殊几何问题
- 染色问题：通过两种颜色对图形染色，计算不同染色方案数。
四、行程体系
相遇与追及问题
- 相遇：$距离 = 速度和 times 时间$。
- 追及：$距离 = 速度差 times 时间$。
流水与航行问题
- 顺水速度：$v_{顺} = v_{静} + v_{水}$，逆水速度：$v_{逆} = v_{静} - v_{水}$。
五、应用题体系
需结合具体情境建立方程或不等式，例如：
购物折扣问题：$实际价格 = 原价 times （1 - 折扣率）$。
工程问题：$工作量 = 工作效率 times 时间$。
六、计数体系
排列组合
- 排列公式：$A_n^m = frac{n!}{（n-m）!}$，组合公式：$C_n^m = frac{n!}{m!（n-m）!}$。
抽屉原理与容斥原理
- 抽屉原理：$n+1$个物体放入$n$个抽屉，至少有一个抽屉有2个物体。
- 容斥原理：计算多个集合交集时避免重复计数。
七、组合体系
数字谜题
- 例如：数阵图填数需满足每行/列/对角线数字和相等。
2