复数是数学中一个基础且重要的概念，其定义和性质如下：
一、基本定义
复数是形如 $z = a + bi$ 的数，其中：
$a$ 和 $b$ 均为实数；
$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
当 $b = 0$ 时，复数退化为实数 $a$；当 $a = 0$ 且 $b neq 0$ 时，称为纯虚数（如 $3i$）。
二、复数的组成部分
实部：
$a$（当 $b = 0$ 时，$a+bi = a$）；
虚部：
$b$（当 $a = 0$ 时，$a+bi = bi$）；
模：
复数 $z = a + bi$ 的模为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$；
共轭复数：
$overline{z} = a - bi$。
三、复数的几何意义
复数可以用复平面上的点 $（a, b）$ 表示，其中横轴为实部，纵轴为虚部。复数的模表示该点到原点的距离，幅角 $theta$ 满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
四、复数的应用领域
复数在多个学科中具有广泛的应用：
物理学：用于描述波动、振荡和旋转系统（如量子力学、电磁学）；
工程学：信号处理、控制系统等；
数学分析：复变函数论、傅里叶分析等。
五、复数与虚数的关系
包含关系：复数包含实数和虚数，实数是复数的子集；
数系扩展：复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
总结
复数通过实部与虚部的组合，扩展了数的概念，不仅解决了负数平方根等数学难题，还在科学和工程领域具有重要应用。其几何表示和代数性质为深入研究数学与自然现象提供了工具。