数学中的积分主要分为以下五类,涵盖从基础到进阶的不同应用场景:
不定积分 求函数的原函数族,结果包含任意常数C。例如,$int x^n dx = frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$($n neq -1$)。
定积分
计算函数在区间[a, b]上的累积量(如面积),结果为确定的数值。例如,$int_a^b x dx = frac{1}{2}(b^2 - a^2)$。
重积分
在二维或三维空间中对函数进行积分,包括二重积分($iint f(x,y) dA$)和三重积分($iiint f(x,y,z) dV$),用于计算体积、质心等。
曲线积分
分为第一类(对弧长积分)和第二类(对向量场积分),用于计算曲线上的物理量(如功、流量)。
曲面积分
包含第一类(对面积积分)和第二类(对向量场积分),用于计算曲面的物理量(如通量、质量)。
其他扩展类型:
还包括对坐标的线积分、对坐标的曲面积分等,但上述五类为高等数学中的核心分类。