二进制卷积码的生成通常涉及以下步骤，结合了卷积运算和二进制特性：
一、卷积码的基本概念
卷积码是一种线性分组码，通过输入序列与特定生成多项式进行卷积运算生成码字。对于二进制卷积码，生成多项式通常为二进制序列。
二、生成多项式与卷积关系
生成多项式形式 生成多项式通常表示为 $g（x） = x^{n-k} + x^{n-k+1} + cdots + x + 1$，其中 $n$ 是码长，$k$ 是信息位长度。例如，八进制数 $133_8$ 转换为二进制为 $001 111 001$，对应生成多项式 $g（x） = x^7 + x^6 + cdots + x + 1$。
卷积运算示例
输入序列 $x（n）$ 与生成多项式 $g（x）$ 的卷积结果为：
$$y(n) = x(n) cdot g(x)$$
例如，当 $g（x） = x^2 + x + 1$ 时，$y（n）$ 即为 $x（n）$ 与 ${1,1,1}$ 的卷积结果。
三、二进制卷积的实现方法
直接卷积
通过滑动窗口计算输入序列与生成多项式的卷积，时间复杂度为 $O（nk）$。例如，对于 $g（x） = x^2 + x + 1$，需计算 $x（n）$ 与 ${1,1,1}$ 的卷积。
快速算法（如FFT）
利用快速傅里叶变换（FFT）将时域卷积转换为频域乘积，时间复杂度降为 $O（n log n）$。具体步骤包括：
- 将输入序列 $x（n）$ 和生成多项式 $g（x）$ 分别进行补零后进行FFT变换；
- 在频域将对应频段相乘；
- 通过逆FFT将结果转换回时域，得到卷积结果。
四、示例：生成多项式 $g（x） = x^2 + x + 1$ 的卷积实现
输入序列：
$x（n） = {1,0,1}$
生成多项式：
$g（x） = x^2 + x + 1$（对应二进制 $111$）
卷积结果：
$$y(n) = x(n) cdot g(x) = {1,0,1} cdot {1,1,1} = {1,1,1,0,1}$$
即 $y（n） = {1,1,1} + x（n-1） cdot {1,1,1} + x（n-2） cdot {1,0,1}$。
五、注意事项
生成多项式需满足特定条件（如无重复根）以保证码字的唯一性；
实际编码时需考虑边界条件（如填充方式）。
通过上述方法，可高效计算二进制卷积码，满足不同纠错需求和编码效率要求。