二进制数的计数和运算规则如下：
一、二进制数的表示方法
基本符号
二进制仅使用两个符号：
- `0` 表示零
- `1` 表示一
数位与权值
采用位置计数法，从右到左的位权依次为 $2^0, 2^1, 2^2, dots$
例如：
- $（1011）_2 = 1 cdot 2^3 + 0 cdot 2^2 + 1 cdot 2^1 + 1 cdot 2^0 = 11_{10}$
常见转换示例
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|--------|--------|--------|----------|
| 0 | 0 | 0 | 0|
| 1 | 1 | 1 | 1|
| 2 | 10 | 2 | 2|
| 3 | 11 | 3 | 3|
| 4 | 100| 4 | 4|
| 5 | 101| 5 | 5|
| 6 | 110| 6 | 6|
| 7 | 111| 7 | 7|
| 8 | 1000 | 10 | 8|
| 9 | 1001 | 11 | 9|
| 10 | 1010 | 12 | A|
二、二进制的基本运算规则
加法运算
- 规则：`0+0=0`, `0+1=1`, `1+0=1`, `1+1=10`（逢二进一）
- 示例：
$$1010_2 + 1011_2 = 10101_2$$
$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 1 & 0 end{array}$$
减法运算
- 规则：`0-0=0`, `1-0=1`, `1-1=0`, `0-1=1`（借一当二）
- 示例：
$$1011_2 - 1010_2 = 0001_2$$
$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 1 - & 1 & 0 & 1 & 0 hline & 0 & 0 & 0 & 1 end{array}$$
乘法运算
- 规则：`0×0=0`, `1×0=0`, `0×1=0`, `1×1=1`
- 示例：
$$1010_2 times 1011_2 = 1101110_2$$
$$begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 & 0 times & 1 & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 1 & 0 + & 0 & 0 & 0 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 0 + & 1 & 0 & 1 & 00 hline & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 end{array}$$
除法运算
- 通过短除法或位运算实现，例如：