根据现有信息，开封市私立学校数量需结合不同教育阶段进行分类统计，以下为综合整理：
一、小学阶段
河南大学附属小学 - 创办于1960年，是开封市首批合格小学，以治学严谨著称，拥有15个教学班。
开封市第一师范附属小学
- 历史悠久的市属小学，建校近90年，是开封市知名学府。
其他小学
- 包括东信北大培文中学小学部、华洋外国语学校小学部等，但部分学校信息权威性较低。
二、中学阶段
河南大学附属中学（河大附中）
- 师资力量雄厚，是开封市重点中学，涵盖初中和高中阶段。
求实中学
- 多校区运营（东校区、西校区），以个性化教育为特色。
其他中学
- 包括金明中学、十三中、黎明中学、华洋高中等，但部分学校存在管理问题或信息更新滞后。
三、高中阶段
河南大学附属中学（河大附中）
- 同时承担高中教育，延续其优质教学传统。
其他高中
- 包括中州中学、两河中学、济汴中学、现代中学、养正中学等。
四、其他类型私立学校
华洋外国语学校： 涵盖小学至高中，提供双语教育。 冠英学校
睿德双语学校：寄宿式民办学校，专注中西合璧教育。
注意事项
部分学校存在性质争议，如河南大学附属中学曾为国有民办改革试点。
不同来源对学校数量和质量的描述存在差异，建议实地考察后选择。
综上，开封市私立学校数量需根据具体需求进一步核实，建议结合办学资质、教学特色和地理位置综合考量。