根据搜索结果，学校至少购买了 34个篮球，具体解析如下：
问题核心 
需求满足：
- 平均分给5个班余4个；
- 平均分给7个班余6个。
数学解析
- 设篮球数量为$x$，则$x equiv 4 pmod{5}$且$x equiv 6 pmod{7}$。 - 这意味着$x+1$能同时被5和7整除，即$x+1$是5和7的最小公倍数35的倍数。 - 因此，$x = 35k - 1$（$k$为正整数），当$k=1$时，$x=34$。
结论
满足条件的最小整数解为 34个篮球，此时$x+1=35$，既能被5整除也能被7整除。
注意：
其他搜索结果中提到的25个或36个篮球，均不符合题目中“至少”的条件，且部分信息与问题无关。