根据权威信息，启东市托儿所数量如下：
国家备案托育机构 截至2023年，启东市共有15家托育机构通过国家备案信息系统完成备案。
直属幼儿园托班
2024年秋季学期，8所直属幼儿园新增托班，包括经济开发区幼儿园、碧桂园幼儿园等。
其他托育机构
部分民办机构如启东市妇幼保健院托育园（2023年江苏省示范性托育机构）等提供托育服务。
总结：
截至2024年，启东市托儿所总数为23家（15家备案机构+8所直属幼儿园托班+其他民办机构）。