体育舞蹈学校的监管涉及多个部门，具体如下：
文化局 
负责文化艺术培训机构的管理，包括体育舞蹈培训。若涉及地方性非物质文化遗产（如舞踏），则由文化局直接管辖。
体育局
作为运动类培训的主管部门，体育局可能参与监督体育舞蹈的体能训练、课程设置及健康管理等方面，但具体管理权限需结合地方政策确定。
教育局
通常不直接管理体育舞蹈学校，但可能负责以下工作：
- 审核办学资质、教学内容及师资力量
- 组织校外培训市场综合执法
- 保障学员权益（如处理投诉）
市场监督管理局
负责营利性培训机构的注册登记、广告宣传及收费监管，是消费者投诉的主要受理部门。
工商部门（原工商局）
负责舞蹈培训机构的工商注册登记，如公司名称核准、营业执照发放等。
总结：
体育舞蹈学校主要由文化局和体育局联合监管，教育局、市场监督管理局及工商部门分别承担辅助性职责。具体管理分工可能因地区政策差异而有所不同，建议咨询当地教育或文化部门获取详细信息。