判断点是否在曲线上或两条曲线是否相交，可通过以下方法：
一、判断点是否在曲线上
代入曲线方程 将点的坐标 $（x_0, y_0）$ 代入曲线方程 $f（x, y） = 0$，若满足方程（即 $f（x_0, y_0） = 0$），则该点在曲线上。
几何直观
对于简单曲线（如抛物线、圆），可通过几何性质快速判断。例如，抛物线 $y^2 = 4ax$ 上的点 $（x, y）$ 满足 $y^2 = 4ax$；圆 $（x - h）^2 + （y - k）^2 = r^2$ 上的点满足该方程。
二、判断两条曲线是否相交
联立方程组
将两条曲线方程联立，求解方程组。若存在实数解，则两曲线相交；若无解，则不相交。
几何分析
- 轨迹方向： 曲线在某点的切线方向与合外力方向一致（如抛物线向下弯曲，圆周运动向圆心）。 - 特殊曲线
- 椭圆：离心率 $e in （0, 1）$，长轴和短轴决定形状；
- 双曲线：离心率 $e > 1$，渐近线为 $y = pm frac{b}{a}x$（水平/垂直）；
- 抛物线：标准方程 $y^2 = 4ax$（开口向右），对称轴为 $x$ 轴。
三、补充说明
坐标轴交点：令 $x=0$ 求与 $y$ 轴交点，令 $y=0$ 求与 $x$ 轴交点。
对称性应用：利用对称性简化方程求解（如圆的对称性可快速确定交点个数）。
通过以上方法，可系统判断点与曲线的关系及曲线间的交点情况。