关于清朝末年全国大学数量的问题，综合权威资料可得出以下结论：
公立大学数量 
- 清末全国仅有 3所公立大学
，即京师大学堂（北京大学前身）、北洋大学堂（天津大学前身）和山西大学堂。
- 京师大学堂是1898年创立的全国唯一国立大学，而北洋大学堂和山西大学堂则分别成立于1895年和1898年。
教会大学数量
- 除公立大学外，清朝末年还有 10余所教会大学，由外国宗教团体创办，例如燕京大学（北京）、东吴大学（苏州）、华西协和大学等。
其他类型学校
- 包括洋务运动时期创办的北洋医学堂（天津医科大学前身）等。
总结：
若以“大学”广义概念计算，清朝末年全国共有约10余所大学，其中公立大学3所，教会大学10余所。若特指国立大学，则仅有京师大学堂1所。