求分数函数的单调性需要根据函数的具体形式选择合适的方法，以下是具体步骤和注意事项：
一、分母不为零的情况（可导函数）
求导数 对分数函数 $f（x） = frac{g（x）}{h（x）}$ 求导，使用商的导数公式：
$$
f'(x) = frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
$$
其中 $g（x）$ 是分子，$h（x）$ 是分母。
确定导数的符号
- 若 $f'（x） > 0$，则函数在对应区间单调递增；
- 若 $f'（x） < 0$，则函数在对应区间单调递减。
注意分母零点
需排除使 $h（x） = 0$ 的点，因为这些点可能导致导数不存在或函数无定义，需分段讨论。
二、分母为零的情况（需分段讨论）
确定定义域
找出所有使 $h（x） = 0$ 的点，将定义域分成若干子区间。
分段求导
在每个子区间内分别求导数 $f'（x）$，并判断其符号。
综合结论
结合各子区间的导数符号，确定函数在每个子区间内的单调性。
三、补充说明
导数法适用性： 导数法是判断分数函数单调性的常用且有效的方法，尤其适合解析式较复杂的函数。 定义法
图像法：通过绘制函数图像直观观察上升或下降趋势，辅助判断单调性。
示例
以 $f（x） = frac{1}{x^2 - 2x - 3}$ 为例：
求导数
$$
f'(x) = frac{0 cdot (x^2 - 2x - 3) - 1 cdot (2x - 2)}{(x^2 - 2x - 3)^2} = frac{-(2x - 2)}{(x^2 - 2x - 3)^2}
$$
确定导数符号
- 当 $x < 1$ 或 $x > 3$ 时，$f'（x） < 0$，函数单调递减；
- 当 $1 < x < 3$ 时，$f'（x） > 0$，函数单调递增；
- 需注意 $x = 1$ 和 $x = 3$ 处导数不存在，需单独讨论。
通过以上方法，可系统判断分数函数的单调性。