关于分数的因式分解，需要根据具体情况选择合适的方法。以下是综合整理的步骤和技巧：
一、基本方法
提公因式法 - 找出分子和分母的公因式（包括分数形式的公因式），提取后化简。例如：
$$frac{x}{2} + frac{x^2}{4} = frac{x}{2} left(1 + frac{x}{2}right) = frac{x(2 + x)}{4}$$
- 注意：若分母含字母，需先通分再提取公因式。
公式法
- 利用平方差公式、完全平方公式等。例如：
$$x^2 - frac{y^2}{4} = left(x + frac{y}{2}right)left(x - frac{y}{2}right)$$
- 适用条件：分子或分母能匹配公式结构。
二、特殊技巧
拆项与添项法
- 通过拆分分子或分母中的项，创造可分解形式。例如：
$$frac{x^3 - x}{x^2 - 1} = frac{x(x^2 - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = frac{x}{x + 1}$$
- 适用于复杂分式的化简。
分组分解法
- 将分子或分母分组后分别分解。例如：
$$frac{x^4 + 4x^2 + 4}{x^2 + 4} = frac{(x^2 + 2)^2}{x^2 + 4}$$
- 需注意分组后是否还能进一步分解。
三、注意事项
化简为整式
- 因式分解通常针对整式，若分子或分母为分数，需先通分或化简为整式。例如：
$$frac{2x}{3} + frac{4x}{9} = frac{6x + 4x}{9} = frac{10x}{9}$$
- 但注意，$frac{10x}{9}$ 已经是最简形式，无法再分解。
分解彻底性
- 确保分解后的因式无法再进一步分解，且结果以小括号形式呈现，首项系数为正。例如：
$$x^4 - 5x^2y^2 + 4y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 - 4y^2) = (x + y)(x - y)(x + 2y)(x - 2y)$$
- 避免遗漏因式。
四、示例综合应用
分解 $frac{x^5 + 3x^4y - 5x^3y^2 + 4xy^4 + 12y^5}{x^2 + 4}$：
分组：
$$frac{(x^5 + 3x^4y) - (5x^3y^2 - 4xy^4) + 12y^5}{x^2 + 4}$$
提取公因式：
$$= frac{x^4(x + 3y) - xy^2(5x^2 - 4y^2) + 12y^5}{x^2 + 4}$$
进一步分解：
$$= frac{(x + 3y)(x^4 - 5x^2y^2 + 4y^4)}{x^2 + 4} = frac{(x + 3y)(x^2 - y^2)(x^2 - 4y^2)}{x^2 + 4}$$
$$= frac{(x + 3y)(x + y)(x - y)(x + 2y)(x - 2y)}{x^2 + 4}$$
通过以上方法，可以系统地处理含分数的因式分解问题。若遇到复杂分式，建议先化简为整式再分解，或尝试拆项、分组等技巧。