带根号的分数约分需要通过以下步骤进行，结合了因式分解和分母有理化的方法：
一、提取公共根号因子
因式分解 对分子和分母分别进行因式分解，找出其中的公共根号因子。例如，对于分数 $frac{sqrt{12}}{sqrt{18}}$，可以将分子和分母分解为：
$$
sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}
sqrt{18} = sqrt{9 times 2} = 3sqrt{2}
$$
但这里没有公共根号因子，需进一步处理。
提取平方因子
若分子或分母包含平方数，可将其提取出来。例如：
$$
frac{sqrt{72}}{sqrt{18}} = frac{sqrt{36 times 2}}{sqrt{9 times 2}} = frac{6sqrt{2}}{3sqrt{2}} = 2
$$
这里 $sqrt{36}$ 和 $sqrt{9}$ 都是平方数，可直接约分。
二、分母有理化
当分母含有根号时，需通过乘以共轭式将分母化为有理数：
乘以共轭式
对于分母 $sqrt{a} + sqrt{b}$，乘以 $sqrt{a} - sqrt{b}$；对于 $sqrt{a} - sqrt{b}$，乘以 $sqrt{a} + sqrt{b}$。例如：
$$
frac{1}{sqrt{2} + 1} times frac{sqrt{2} - 1}{sqrt{2} - 1} = frac{sqrt{2} - 1}{2 - 1} = sqrt{2} - 1
$$
分母为单一根号
若分母为单一根号（如 $sqrt{a}$），可乘以 $sqrt{a}$ 进行有理化：
$$
frac{3}{sqrt{5}} times frac{sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{3sqrt{5}}{5}
$$
三、约分与化简
化简分子分母
在有理化后，检查分子和分母是否还有可约分的公共因子。例如：
$$
frac{2sqrt{6}}{6} = frac{sqrt{6}}{3}
$$
合并同类项
若分子或分母包含同类根式，可合并后约分。例如：
$$
frac{sqrt{8} + sqrt{18}}{4} = frac{2sqrt{2} + 3sqrt{2}}{4} = frac{5sqrt{2}}{4}
$$
四、注意事项
分子为根号： 若分子为单一根号（如 $sqrt{a}$），无法直接约分，需结合分母有理化处理。 分子为分数
无法约分：若分子分母的根号内无公共因子，且分母已有理化，则该分数已是最简形式。
通过以上步骤，可系统化地约分带根号的分数。