国子监的完整写法为 guó zǐ jiàn，具体解析如下：
国子监的含义
国子监是中国古代封建社会的最高教育管理机关，主要职能是培养官员和士人，属于中央官学体系。其名称中的“监”指代教育管理职能，应读作 jiàn（第四声），与“监狱”的“监”（读作jǐn）不同。
“监”的多音现象
“监”是一个多音字，存在两种读音和含义：
- 读jiàn时，表示监督、管理，如“监控”“监管”等；
- 读jǐn时，表示监狱、监禁，如“监狱”“看守”等。
历史演变
国子监始于隋朝，是中央官学体系的核心，历代均有设置，至清朝末年废止。其职能在不同时期有所调整，但始终以教育管理为主。
综上，国子监的汉字写法为 guó zǐ jiàn，其中“监”在此处读作 jiàn，与“监狱”的“监”区分。