数学中二进制表示法通过位权展开法实现，其核心规则为逢二进一，数位权值呈指数级增长。以下是具体说明：
一、基本定义与规则
符号与权值
二进制仅使用0和1，从右往左数第n位表示2^（n-1）的权值（如：1位=2^0=1，2位=2^1=2，3位=2^2=4，依此类推）。
展开公式
一个n位二进制数可表示为：
$$
a_0 times 2^0 + a_1 times 2^1 + a_2 times 2^2 + cdots + a_{n-1} times 2^{n-1}
$$
其中$a_i$为0或1，表示该位数字。
二、十进制转二进制方法
除2取余法
将十进制数连续除以2，记录每次的余数（从低位到高位），最终组合成二进制数。例如：
$$
1000 div 2 = 500 quad text{余数} 0
500 div 2 = 250 quad text{余数} 0
250 div 2 = 125 quad text{余数} 0
125 div 2 = 62 quad text{余数} 1
62 div 2 = 31 quad text{余数} 0
31 div 2 = 15 quad text{余数} 1
15 div 2 = 7 quad text{余数} 1
7 div 2 = 3 quad text{余数} 1
3 div 2 = 1 quad text{余数} 1
1 div 2 = 0 quad text{余数} 1
$$
组合余数得到二进制：1111101000。
位权展开法
找出不大于原数的2的幂次方，依次减去并记录对应的二进制位。例如：
$$
1000 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 = 1111101000_2
$$。
三、应用场景
计算机存储
二进制是计算机内部数据表示的基础，逻辑门和存储单元均基于二进制运算。
简化计算
在某些数学运算中，二进制可减少计算复杂度，例如位运算（与、或、非等）。
四、注意事项
二进制数位数越多，可表示的数值范围越大（如8位可表示0-255）。
有符号数需使用补码表示负数，最高位为符号位（0为正，1为负）。