数学中求和公式是用于计算数列总和的通用方法，根据数列类型的不同，求和公式也有所差异。以下是主要类型及对应公式：
一、等差数列求和公式
适用于相邻两项差值固定的数列（如自然数列、等差数列）。
公式形式
$$S_n = frac{n}{2} (a_1 + a_n)$$
或
$$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$
其中：
$S_n$ 为前n项和，
$a_1$ 为首项，
$a_n$ 为第n项（$a_n = a_1 + （n-1）d$），
$d$ 为公差，
$n$ 为项数。
示例
计算1到100的自然数和：
$$S_{100} = frac{100}{2} (1 + 100) = 5050$$。
二、等比数列求和公式
适用于相邻两项比值为常数的数列（如几何数列）。
公式形式
$$S_n = frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} quad (q neq 1)$$
其中：
$S_n$ 为前n项和，
$a_1$ 为首项，
$q$ 为公比，
$n$ 为项数。
示例
计算1到8的几何数列和（公比2）：
$$S_4 = frac{1(1 - 2^4)}{1 - 2} = 15$$。
三、幂级数求和公式
适用于形如 $sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$ 的级数。
公式形式
$$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n = frac{a_0}{1 - x} quad (|x| < 1)$$
其中：
$a_0$ 为常数项，
$x$ 为变量，
$|x| < 1$ 保证级数收敛。
四、其他常见求和公式
自然数平方和 $$sum_{k=1}^n k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
示例：计算1到10的平方和：
$$sum_{k=1}^{10} k^2 = frac{10 cdot 11 cdot 21}{6} = 385$$。
奇数平方和
$$sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = n^2$$
示例：计算1到10的奇数平方和：
$$sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 = 10^2 = 100$$。
五、求和项数的计算
若已知通项公式 $a_n$，可通过以下方法求项数 $n$：
等差数列： $a_n = a_1 + （n-1）d$，解得 $n = frac{a_n - a_1}{d} + 1$。- 几何数列
六、无限级数求和
对于收敛的无限级数（如几何级数），可用公式：
$$S = frac{a}{1 - r} quad (|r| < 1)$$
例如：
$$sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = frac{1}{1 - frac{1}{2