判断数学中函数或数列是否连续，需根据具体对象（函数或数列）采用不同的方法。以下是综合整理的判断准则：
一、函数连续性的判断方法
极限定义法 对于函数 $f（x）$ 在点 $x_0$ 处连续，需满足：
$$lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$$
即左极限等于右极限且等于函数值。
分段函数连续性
若函数可表示为分段函数，需分别判断各分段在对应区间内的连续性，再检查分段点处的左右极限是否相等。
基本初等函数连续性
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等在其定义域内连续。若函数由基本初等函数通过有限次四则运算或复合运算构成，则该函数连续。
左/右连续性
- 左连续： $lim_{x to x_0^-} f（x） = f（x_0）$ - 右连续
若函数在区间内每一点都左连续且右连续，则称函数在该区间连续。
二、数列连续性的判断方法
数列的“连续性”通常指其项的变化是否平滑，但严格来说，数列是离散的，不存在传统意义上的连续性。若需判断数列的收敛性（可视为一种广义的连续性），需满足：
$$lim_{n to infty} a_n = L$$
即数列的极限存在且有限。
三、其他注意事项
闭区间连续性 若函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在该区间内任意一点都连续。
间断点分类
- 可去间断点： 函数在该点有定义，但极限不存在或极限值不等于函数值（如 $f（x） = frac{sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处） - 跳跃间断点
- 无穷间断点：函数在该点极限为无穷大（如 $f（x） = frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）
- 振荡间断点：函数在该点极限不存在且不趋近于无穷大（如 $f（x） = sin frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）
实际应用建议
- 先判断函数在考察点是否有定义；
- 再求左右极限并比较是否相等；
- 最后验证极限值是否等于函数值；
- 对于复杂函数，可结合导数判断连续性（可导必连续）。
通过以上方法，可系统判断函数或数列的连续性。