清朝时期建立大学的数量存在不同统计口径，综合多个来源信息如下：
一、普通高等教育机构
国立大学 - 京师大学堂（北京大学前身）：1898年成立，中国近代第一所国立大学。
- 北洋大学堂（天津大学前身）：1895年创立，中国第一所近代大学。
- 清华学堂（清华大学前身）：1911年成立，清政府设立的留美预备学校。
其他重要国立机构
- 四川高等学堂（四川大学前身）：1902年成立。
- 武汉大学：可追溯至1893年张之洞创办的自强学堂，1928年定名为国立武昌高等师范学校。
二、教会大学
数量与背景
- 共有17所，由基督教机构创办，如燕京大学（北京）、东吴大学（苏州）、圣约翰大学（上海）等。
- 这些学校多成立于19世纪末至20世纪初，例如燕京大学前身为1898年创立的北京协和医学院。
三、洋务运动时期特殊教育机构
军事与专业技术学校：
如福建船政学堂（1866年，海军人才培养）、天津西医学堂（医学教育）等。
四、其他说明
统计差异：不同文献对“大学”定义存在差异，部分将高等学堂、书院等机构纳入统计。
百年大学：若以建校超过100年计算，中国现有100余所“百年大学”，其中部分可追溯至清朝（如武汉大学、天津大学）。
总结
清朝建立大学的总数在21所左右，涵盖国立大学、教会大学及洋务运动时期特殊机构。需注意，部分机构存在前身与后续更名或分设的情况。