分数二次根式的计算需要根据具体情况选择合适的方法，以下是综合整理的步骤和注意事项：
一、基本运算规则
乘除法则
- 乘法：$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（需满足$a geq 0, b > 0$）
- 除法：$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（需满足$a geq 0, b > 0$）
化简要求
- 被开方数需分解为完全平方数与其他因数的乘积，例如$sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$
- 分母需有理化，通常通过分子分母同乘分母的有理化因数实现，例如$sqrt{frac{3}{4}} = frac{sqrt{3}}{sqrt{4}} = frac{sqrt{3}}{2}$
二、具体计算方法
分数开根号
- 先计算根号下分数的值，再开方。例如$sqrt{frac{28}{7}} = sqrt{4} = 2$
- 或者将分子分母同乘分母的平方根进行有理化，例如$sqrt{frac{7}{8}} = frac{sqrt{7}}{sqrt{8}} = frac{sqrt{7}}{2sqrt{2}} = frac{sqrt{14}}{4}$
带分数处理
- 先将带分数化为假分数，再化简。例如$sqrt{1frac{1}{12}} = sqrt{frac{13}{12}} = frac{sqrt{13}}{sqrt{12}} = frac{sqrt{13}}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{39}}{6}$
分母有理化
- 当分母为根式时，分子分母同乘分母的共轭根式。例如$frac{1}{sqrt{a} + sqrt{b}} = frac{sqrt{a} - sqrt{b}}{（sqrt{a} + sqrt{b}）（sqrt{a} - sqrt{b}）} = frac{sqrt{a} - sqrt{b}}{a - b}$
三、注意事项
符号处理
- 根号内含字母时，需考虑绝对值。例如$sqrt{a^2} = |a|$，$sqrt{xy} = sqrt{|x| cdot |y|}$
- 实际运算中，若能确定符号，可省略绝对值符号以简化计算
复杂表达式化简
- 先将复杂表达式拆分为简单部分分别化简，再合并。例如$sqrt{frac{2x+3}{4x-1}}$需先对分子分母因式分解，再化简根号
四、示例总结
计算$sqrt{frac{15}{8}}$的步骤：
1. 分子分母同乘8：$sqrt{frac{15 times 8}{8 times 8}} = sqrt{frac{120}{64}}$
2. 化简根号：$frac{sqrt{120}}{sqrt{64}} = frac{2sqrt{30}}{8} = frac{sqrt{30}}{4}$
通过以上方法，可系统化处理分数二次根式的计算。