当指数为分数时，分数次方的计算规则如下：
一、正分数次方
计算方法 对于分数指数幂 $（a/b）^{m/n}$（其中 $a$ 和 $b$ 为正整数，$m$ 和 $n$ 为正整数），可以先将分子和分母分别取 $n$ 次方，再化简为最简分数形式：
$$
left(frac{a}{b}right)^{frac{m}{n}} = frac{a^m}{b^n}
$$
例如：
$$
left(frac{2}{3}right)^{frac{2}{3}} = frac{2^2}{3^2} = frac{4}{9}
$$
化简要求
结果需化简为最简分数形式。若分子或分母为完全幂次方，可进一步化简。例如：
$$
left(frac{8}{27}right)^{frac{2}{3}} = frac{8^2}{27^2} = frac{64}{729} = left(frac{4}{9}right)^3 = left(frac{4}{9}right)^1 = frac{4}{9}
$$
二、负分数次方
计算方法
负分数次方等于其倒数的正分数次方：
$$
left(frac{a}{b}right)^{-frac{m}{n}} = left(frac{b}{a}right)^{frac{m}{n}}
$$
例如：
$$
left(frac{2}{3}right)^{-frac{1}{2}} = left(frac{3}{2}right)^{frac{1}{2}} = sqrt{frac{3}{2}} = frac{sqrt{6}}{2}
$$
三、注意事项
分母为零的情况
若分母 $b = 0$，则分数无意义，因为零的负次方未定义。
负数的分数次方
- 正分数次方： 需先取绝对值再计算。例如： $$ (-8)^{frac{1}{3}} = sqrt{-8} = -2 $$ - 负分数次方
$$
(-8)^{-frac{1}{3}} = left(frac{1}{-8}right)^{frac{1}{3}} = sqrt{-frac{1}{8}} = -frac{1}{2}
$$
特殊值
- $0$ 的负次方无意义（如 $0^{-a}$），$0^0$ 也存在争议。
四、示例总结
| 指数类型 | 计算规则 | 示例|
|----------------|--------------------------------------------------------------------------|---------------------|
| 正分数次方 | $（a/b）^{m/n} = frac{a^m}{b^n}$ | $left（frac{2}{3}right）^{2/3} = frac{4}{9}$ |
| 负分数次方 | $（a/b）^{-m/n} = left（frac{b}{a}right）^{m/n}$| $left（frac{2}{3}right）^{-1/2} = frac{sqrt{6}}{2}$|
| 负整数次方 | $（a/b）^{-n} = left（frac{b}{a}right）^{n}$| $left（frac{3}{4}right）^{-2} = left（frac{4}{3}right）^{2} = frac{16}{9}$ |
通过以上规则，可系统计算分数次方。