绘制分数函数图像的方法可分为以下五个步骤，结合理论分析与工具辅助实现：
一、确定函数定义域
分数函数通常存在分母不为零的限制，需先求解分母为零的点以确定定义域。例如，对于函数 （ y = frac{1+2x}{1-3x} ），需排除 （ x = frac{1}{3} ）。
二、求导数分析单调性
一阶导数：
通过求导判断函数增减性。例如，对 （ y = left（frac{1+2x}{1-3x}right）^4 ），先化简再求导，找到驻点。
二阶导数：
通过二阶导数判断函数凹凸性，辅助优化图像形态。
三、计算极限与渐近线
垂直渐近线：分母为零的点（如 （ x = frac{1}{3} ））为垂直渐近线。
水平/斜渐近线：通过 （ lim_{x to pminfty} f（x） ） 确定渐近线方向。
四、选取关键点与绘制图像
特殊点：
计算 （ x = 0 ）、极值点等函数值。
工具辅助：
使用数学软件（如Excel、Python的matplotlib库）或绘图工具，通过输入函数表达式快速生成图像。
五、综合分析与调整
结合导数结果、极限信息及关键点，绘制出函数的整体图像，并标注定义域、渐近线等特征。