分数阶乘在数学中通常通过伽玛函数（Γ函数）来定义和计算，其核心概念如下：
定义与扩展性 
阶乘传统上仅对正整数定义，例如5! = 120。但分数阶乘通过伽玛函数扩展到实数域，包括正分数、负整数及零（0! = 1）。例如，1/2! = Γ（3/2） = √π/2。
伽玛函数的基本性质
- 递归定义：Γ（n+1） = n!，且Γ（0） = 1。
- 对于正分数n = p/q，Γ（n） = （n-1）! / （n-1）的阶乘，例如Γ（3/2） = 1/2 × 1/2 × √π。
- 特殊值：Γ（1/2） = √π，Γ（1/4）与双纽线周长相关。
应用领域
分数阶乘在概率论、组合数学及特殊函数中具有重要应用，例如贝塔函数（B函数）与伽玛函数的关系：B（x,y） = Γ（x+1）Γ（y+1） / Γ（x+y+1）。
计算方法
- 递归算法：通过Γ（n+1） = n!实现。
- 数值计算：利用数学软件或库函数（如Python的SciPy库）直接计算。
总结：
分数阶乘通过伽玛函数实现数学上的扩展，其值与圆周率等特殊常数相关，并在多个数学分支中发挥关键作用。