1到n二进制有多少个1

根据给定的整数n，计算从1到n（包括n）的所有数字的二进制表示中1的个数的方法如下：

一、数学公式法（适用于n为正整数）

n位二进制数中1的个数

对于n位二进制数（首位为1），1的个数为：

$$1 + (n-1) times frac{2^{n-1}}{2} = 2^{n-1} + (n-1) times 2^{n-2}$$

例如，3位二进制数（100到111）中1的总个数为：

$$1 + 2 + 2 + 3 = 8$$

1到n的1的总个数

若n的位数为k，则1的总个数为：

$$sum_{i=1}^{k} left(2^{i-1} + (i-1) times 2^{i-2}right)$$

该公式通过累加每一位的1的个数得到结果。

二、位运算优化法

利用位运算特性，可以通过以下步骤高效计算：

初始化计数器

```cpp

int count = 0;

```

循环处理n的每一位

- 每次执行 `n = n & （n - 1）` 可消除n的二进制表示中最右边的1，同时计数器加1。

- 重复此操作直到n变为0。

示例代码（C语言）

```c

int countBits(int n) {

int count = 0;

while (n != 0) {

n = n & (n - 1);

count++;

}

return count;

}

```

该算法的时间复杂度为O（k），其中k是n的二进制位数。

三、示例计算

以n=17为例：

1到17的二进制表示中1的个数分别为：

1（1）, 1（2）, 2（3）, 1（4）, 1（5）, 2（6）, 2（7）, 3（8）, 1（9）, 1（10）, 2（11）, 1（12）, 2（13）, 1（14）, 1（15）, 2（16）, 1（17）

总计：5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 35

四、注意事项

负数处理：

若n为负数，需先将其转换为32位无符号数（如 `n & 0xffffffff`）再计算。

时间复杂度：位运算方法优于逐个转换法，尤其适用于大数计算。

通过上述方法，可高效计算从1到n的二进制中1的总个数。