二进制数的计数和运算规则如下：
一、二进制基本规则
基数与进位规则
二进制采用基数2，进位规则为“逢二进一”，借位规则为“借一当二”。
数位表示
二进制数由0和1组成，位权以2为底的幂次方递增，例如：
$$
1101_2 = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 13_{10}
$$
二、二进制运算方法
加法
- 规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（进位）
- 示例：
$$
begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}
& 1 & 0 & 1
+ & 0 & 1 & 1
hline
& 1 & 0 & 0
end{array}
$$
减法
- 规则：0-0=0，1-0=1，1-1=0，0-1=1（借位）
- 示例：
$$
begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}
& 1 & 0 & 1
& 0 & 1 & 1
hline
& 0 & 1 & 0
end{array}
$$
乘法
- 规则：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1
- 示例：
$$
begin{array}{c@{}c@{}c}
& 1 & 0 & 1
times & 0 & 1 & 1
hline
& 1 & 0 & 1
+ & 0 & 0 & 0
hline
& 1 & 0 & 1
end{array}
$$
除法
- 规则：除数仅能是1，通过不断试除并记录余数（左移）完成计算
- 示例：
$$
13_{10} div 2 = 1101_2
$$
三、二进制与十进制互化
十进制转二进制
- 除2取余法：将十进制数不断除以2，记录余数并逆序排列
- 示例：13 ÷ 2 → 余1，6 ÷ 2 → 余0，3 ÷ 2 → 余1，1 ÷ 2 → 余1 → 1101_2
二进制转十进制
- 加权求和法：按位权展开计算
- 示例：1101_2 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13_{10}
四、应用场景
二进制广泛应用于计算机领域，因硬件（如开关）仅能表示0和1两种状态，符合“逢二进一”的逻辑。