将十进制数257转换为二进制数，可以通过以下步骤完成：
一、十进制转二进制的基本方法（长除法）
257 ÷ 2 得余数 - 257 ÷ 2 = 128 余 1
- 记录余数1
128 ÷ 2 得余数
- 128 ÷ 2 = 64 余 0
- 记录余数0
64 ÷ 2 得余数
- 64 ÷ 2 = 32 余 0
- 记录余数0
32 ÷ 2 得余数
- 32 ÷ 2 = 16 余 0
- 记录余数0
16 ÷ 2 得余数
- 16 ÷ 2 = 8 余 0
- 记录余数0
8 ÷ 2 得余数
- 8 ÷ 2 = 4 余 0
- 记录余数0
4 ÷ 2 得余数
- 4 ÷ 2 = 2 余 0
- 记录余数0
2 ÷ 2 得余数
- 2 ÷ 2 = 1 余 0
- 记录余数0
1 ÷ 2 得余数
- 1 ÷ 2 = 0 余 1
- 记录余数1
将余数从下到上排列，得到二进制数： 100000001
二、其他转换方法
二进制补码表示
- 257的二进制为100000001，符合8位二进制数的表示范围。
八进制转换
- 八进制257转换为二进制：
- 2 → 010
- 5 → 101
- 7 → 111
- 组合成10101111。
三、验证结果
二进制转十进制： 
$100000001_2 = 1 times 2^8 + 0 times 2^7 + 0 times 2^6 + dots + 1 times 2^0 = 257_{10}$
十六进制转换：
二进制100000001转换为十六进制为101（每4位一组：1000=8, 0000=0, 0001=1）。
综上，257的二进制表示为 100000001，符合十进制与二进制之间的转换规则。