二进制数字编码是计算机存储和运算的基础，以下是其核心概念与使用方法的综合说明：
一、二进制基础
数制转换 - 二进制转十进制：
按权展开求和，例如 $（1011）_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11$
- 十进制转二进制：短除法或位运算（如右移取余）
补码表示 - 符号位：
最高位为0表示正数，1表示负数
- 计算规则：正数补码与原码相同，负数补码为原码取反加1
- 示例：
- $+101011_{2}$ 的补码为 $00101011_{2}$
- $-101011_{2}$ 的补码为 $11010001_{2}$
二、编码方式
原码 - 直接用二进制表示符号和数值，如 $+1010100_{2}$ 和 $-1010100_{2}$
- 缺点：存在 $+0$ 和 $-0$ 的区分，浪费1位
反码
- 正数与原码相同，负数逐位取反（0变1，1变0）
补码
- 通用表示方法，简化加减运算
- 例如：$-1158_{10}$ 的补码为 $11111011 0111 1010_{2}$
三、应用场景
数据存储
- 计算机以二进制形式存储所有数据，包括整数、浮点数和字符
运算效率
- 补码简化了加法运算（如减法可转换为加法）
进制转换
- 二进制转八进制： 每3位二进制对应1位八进制（不足补零） - 二进制转十六进制
- 示例：$1101 0101_{2} = D5_{16}$
四、注意事项
符号位管理：编程语言通常自动处理符号位，开发者无需手动操作
特殊数表示：如浮点数采用IEEE 754标准，包含符号位、指数位和尾数位
通过以上方法，二进制编码可实现高效的数据存储与运算，是计算机系统的核心基础。