九连环的二进制表示与格雷码的关联是解题关键，具体计算方法如下：
一、基本规则
状态表示
九连环的每个状态用9位二进制数表示，其中第1位为最左边的环，第9位为最右边的环。例如，`11000`表示第1、2环在上面，第3-5环在下面。
操作规则
每次仅移动一个环，且移动后状态与原状态仅有一位不同。例如，从`11000`变为`11001`（第5环移动）或`11010`（第4环移动）。
二、二进制与格雷码的关联
格雷码生成
右侧一列的二进制数是十进制数0到21的格雷码。格雷码的特点是相邻两个数仅有一位不同，符合九连环每次移动仅改变一位的规则。
状态转换规律
- 初始状态为`111111111`（全1），对应格雷码`0`（二进制`000000000`）。
- 每次移动后，右侧二进制数按格雷码规则递增1，例如`000000000`→`000000001`→`000000011`等。
三、计算示例
以5环为例：
初始状态：`11000`（二进制）→ 反转次序：`00011`（二进制）→ 步数：1（二进制）→ 最终状态：`00011`（二进制）。
右侧二进制数`00011`对应十进制3，符合格雷码规律（`0→1→3`）。
四、总结
通过将九连环状态与格雷码对应，可高效计算每一步的移动。右侧二进制数既是操作记录，也符合格雷码的数学特性，简化了状态转换的逻辑。