根据现有信息，中国不同地区存在多所同名"桐林小学"，具体情况如下：
淄博市临淄区朱台镇桐林小学 位于山东省淄博市临淄区朱台镇桐林村，属于九年一贯制学校，覆盖南边杨店村、桐林村等6个自然村，占地面积5568平方米，建筑面积970平方米。
天津市武清区白古屯乡桐林中心小学
位于天津市武清区白古屯乡桐林村，始建于1976年，现有教学班8个，在校学生250人，校园占地面积5568平方米，建筑面积970平方米，以"一流教学质量"为办学理念。
长沙市望城县黄金乡桐林中心小学
位于湖南省长沙市望城县黄金乡雷高公路东侧，始建于20世纪六十年代末，属6年制农村小学，校园面积5710平方米，校舍面积3342平方米，具有较好的教育声誉。
总结：
中国至少有3所不同行政区域的"桐林小学"，分别位于山东、天津、湖南三地，建议根据具体地理位置进一步确认。