数学中引入分数的原因主要与以下方面相关：
一、表示非整数数量
精确性需求
当需要表示无法用整数精确描述的数量时，分数应运而生。例如，将蛋糕平均分成3份，每份是$frac{1}{3}$，用小数$0.333ldots$表示会存在精度损失，而分数能更精确地反映实际分配结果。
测量与计算
在物理测量中，长度、重量、容量等常涉及非整数结果。例如，身高1.75米用分数表示为$1frac{3}{4}$米，比小数形式更直观且便于记录。
二、解决除法运算问题
当两个整数相除无法得到整数结果时，分数作为除法的自然延伸应运而生。例如，$5 div 3$无法整除，分数$frac{5}{3}$或小数$1.666ldots$能准确表示结果。
三、比例与关系的表达
分数便于描述部分与整体的比例关系。例如，班级学生成绩分为四档时，用分数（如$frac{90}{100}$表示优秀）比整数更能体现各等级的精确分界。
四、历史与数学发展的需要
古代文明的基础
分数概念最早见于古埃及（约公元前1650年）的《吉萨数学手稿》，用于解决土地划分和比例计算问题。古希腊数学家进一步发展了分数理论，使其成为几何学的重要基础。
数学体系的完善
分数与整数共同构成数系，满足不同场景的量化需求。在代数、分析等高级数学领域，分数运算仍是核心工具。
总结
分数是数学中不可或缺的组成部分，其产生源于对非整数数量、精确测量及比例关系的需求。通过分数，数学能够更灵活、准确地描述现实世界中的各种现象，是数学体系的基础工具之一。