分数指数幂是指数函数的一种特殊形式，其本质是根式与幂运算的结合。具体定义及性质如下：
基本定义 
分数指数幂表示为 （ a^{frac{m}{n}} ）（其中 （ a > 0 ），（ m ） 和 （ n ） 为整数，（ n > 1 ）），它等于 （ sqrt[n]{a^m} ），即 （ a ） 的 （ m ） 次方再开 （ n ） 次方根。
与根式的关系
正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。例如：
[
8^{frac{1}{3}} = sqrt{8} = 2
]
该关系由指数运算法则推导得出，即 （ a^{frac{m}{n}} = sqrt[n]{a^m} ） 。
适用范围
仅对正数定义分数指数幂，负数的分数指数幂需通过其他方法（如复数运算）处理。
运算性质
- 同底数幂相乘：（ a^r cdot a^s = a^{r+s} ）
- 幂的乘方：（ （a^r）^s = a^{rs} ）
- 积的乘方：（ （ab）^r = a^r cdot b^r ）
这些性质与整数指数幂一致。
总结：
分数指数幂通过分数指数将幂运算与根式联系起来，是代数中重要的函数形式，主要用于简化根式表达式及解决实际问题。