根据最新政策，以下省份专升本允许多次报考，具体如下：
广东省 
- 户籍不限：
本地户籍考生可多次报考，非本地户籍考生在广东就读专科期间可报考。 - 次数限制：应届毕业生可报考3次（2025年最新规定），往届毕业生无次数限制。
辽宁省 - 户籍不限：
省内就读专科的应届生和往届生均可多次报考，无户籍限制。 - 政策宽松：被提及为专升本报考限制最宽松的省份之一。
天津市 
- 户籍不限：
天津户籍考生可无限次报考，往届毕业生也可报考。 - 政策支持：对本地户籍考生较为友好。
其他可能省份 - 云南、内蒙古、上海：
特定条件（如基层服务项目）下可享两次报考机会，但需满足年限和服务要求。 - 河北、江苏、陕西：部分省份允许往届生报考，但次数限制较多（通常2-3次），且需提供工作证明等材料。
建议：优先选择广东、辽宁、天津等政策最宽松的省份报考，若需多次尝试，可结合自身户籍、户籍所在地及基层服务经历综合规划。