詹天佑出国留学的原因可归纳为以下四点，涵盖政策背景、个人志向、家庭支持及教育机会：
国家政策推动（洋务运动）
清政府推行“幼童出洋”计划，旨在培养掌握西方科技的人才以振兴工业。詹天佑作为首批官派留学生，受益于这一政策支持。
家庭与个人努力
詹天佑自幼聪慧，12岁被父亲推荐并成功考取官派留学资格。他在香港接受基础教育后，凭借优异表现进入美国深造。
家国情怀与使命感
他怀揣“救国图强”信念，认为学习西方技术是避免国家受辱、实现民族振兴的必经之路。这种家国情怀驱使他克服语言与文化障碍，专注铁路工程学习。
教育机会难得
作为中国首批官派留学生，詹天佑获得了进入耶鲁大学土木工程系深造的宝贵机会，为其日后成为铁路专家奠定了坚实基础。
综上，詹天佑的留学是多因素共同作用的结果，既体现了清政府的战略布局，也彰显了他个人的奋斗与担当。