集合的二进制表示法通过使用整数的二进制位来表示元素的存在性，是一种高效且紧凑的存储方式。以下是具体说明：
一、基本原理
元素映射 将集合中的元素映射为整数的二进制位。通常将元素按顺序编号（如0, 1, 2, …），若元素i在集合中，则将整数i转换为二进制后，第i位设为1，其余位设为0。
整数与集合的对应关系
例如，集合{0, 1, 2, 3}可以表示为二进制数`0111`（即十进制的15），其中：
- 第0位：0表示元素0不在集合中
- 第1位：1表示元素1在集合中
- 第2位：1表示元素2在集合中
- 第3位：1表示元素3在集合中
二、常见操作与实现
判断元素存在性
使用位与运算判断元素i是否在集合中：
$$text{判断元素i是否在集合} = (s & (1 << i)) neq 0$$
若结果为1，则元素i在集合中；若为0，则不在。
添加元素
使用位或运算添加元素i：
$$s = s | (1 << i)$$
例如，集合{0, 1, 2}（二进制111）添加元素3（二进制100）后变为1111（十进制31）。
移除元素
使用位与取反运算移除元素i：
$$s = s & ~(1 << i)$$
例如，集合{0, 1, 2, 3}移除元素2（二进制100）后变为0111（十进制7）。
集合运算
- 并集： $A | B = A lor B$ - 交集
- 对称差：$A oplus B = （A lor B） land lnot （A land B）$
这些运算可通过位运算高效实现。
三、子集枚举
全排列枚举：通过二进制数从0到$2^n - 1$遍历，每个数对应一个子集。例如，n=3时，二进制000到111对应空集到全集。
优化枚举：从高位到低位遍历，遇到1时保留该位，避免重复计算（如从`sup`开始递减）。
四、注意事项
元素范围：此方法适用于元素为非负整数且范围较小的情况。若元素为负数或范围较大，需先进行映射（如偏移处理）。
空间效率：对于元素较多的集合，需占用较多内存。例如，元素范围为0到1000时，需30位整数表示。
通过上述方法，二进制表示法能够高效地支持集合的存储与操作，是算法竞赛和计算机科学中的常用技巧。