二进制是一种以2为基数的数制系统，其核心法则如下：
一、基本定义
符号组成 仅使用0和1两个数码表示数值，其中0代表“无”，1代表“有”。
进位规则
每当某一位的数值达到2时，向高位进1，本位归零。例如：
- $1 + 1 = 10$（二进制）
- $10 + 1 = 11$（二进制）。
二、运算规则
加法法则
- $0 + 0 = 0$
- $0 + 1 = 1$
- $1 + 0 = 1$
- $1 + 1 = 10$（向高位进位）。
减法法则
- $0 - 0 = 0$
- $1 - 0 = 1$
- $1 - 1 = 0$
- $0 - 1 = 1$（需向高位借位，即 $10 - 1 = 1$）。
乘法法则
- $0 times 0 = 0$
- $0 times 1 = 0$
- $1 times 0 = 0$
- $1 times 1 = 1$。
除法法则
- 除数仅限1，$0 div 1 = 0$，$1 div 1 = 1$
- $0 div 0$ 无意义。
三、数位与权值
每一位的权值以2为底数的幂次表示，例如：
$110.11_2 = 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 0 times 2^0 + 1 times 2^{-1} + 1 times 2^{-2}$
二进制数从右往左依次表示 $2^0, 2^1, 2^2, dots$，小数部分从左往右表示 $2^{-1}, 2^{-2}, dots$。
四、应用与扩展
计算机系统： 现代计算机采用二进制存储数据，通过逻辑门实现运算。- 转换方法
十进制转二进制：通过不断除以2取余数，逆序排列。 - 二进制转十进制：按权展开求和。
二进制的简洁性和与逻辑门的契合性，使其成为计算机科学的基础，而其运算规则则体现了数学中的简洁美与逻辑严谨性。