n位二进制数是指由n个二进制位（0或1）组成的数字表示形式。以下是关于n位二进制数的详细解释：
一、基本定义
位数与状态数 - 每一位可以是0或1，因此n位二进制数可以表示的状态数为 $2^n$ 种。例如：
- 1位：2种状态（0或1）
- 2位：4种状态（00, 01, 10, 11）
- 3位：8种状态（000-111）
数值表示范围
- 无符号n位二进制数的表示范围是 $0$ 到 $2^n - 1$。例如：
- 8位无符号数范围：0-255
- 16位无符号数范围：0-65535
二、应用与特性
计算机存储与运算
- 计算机内部数据以二进制形式存储和运算，补码形式可表示所有整数。
位权与进制转换
- 第n位的位权为 $2^{（n-1）}$。例如二进制数1000中，第4位的1表示 $1 times 2^3 = 8$。
小数表示
- n位二进制小数可表示 $2^{-n}$ 到 $2^0 - 1$ 之间的数值。例如：
- 8位二进制小数可表示 $0.00390625$ 到 $0.9994140625$ 之间的数。
三、示例说明
8位二进制数：
11010101
十进制值为：$1 times 2^7 + 1 times 2^5 + 0 times 2^4 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 205$
补码表示：01101011（假设无符号数）
总结
n位二进制数通过位权展开式表示为：
$$a_{n-1} times 2^{(n-1)} + a_{n-2} times 2^{(n-2)} + dots + a_1 times 2^1 + a_0 times 2^0$$
其中 $a_i$ 为0或1。这种表示方法具有基数为2、进制为逢二进一的特性，是计算机科学的基础。