二进制平方的计算可以通过以下两种方法实现：
一、直接乘法计算
按位相乘
将二进制数按位展开，使用传统乘法法则逐位相乘。例如计算 $（1011）_2^2$：
$$
begin{array}{c@{}c@{}c@{}c}
& 1 & 0 & 1 & 1
times & 1 & 0 & 1 & 1
hline
& 1 & 0 & 1 & 1 quad text{(1011 × 1)}
1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 10)}
+1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 100)}
+1011 & 0 & 0 & 0 & 0 quad text{(1011 × 1000)}
hline
1010101 quad text{(结果)}
end{array}
$$
最终结果为 $（1011）_2 = 11_{10}$，平方后为 $（1011）_2 = 1001_{10}$。
分块计算
可以将二进制数分成高位和低位两部分，分别计算后合并。例如计算 $（1101）_2^2$：
$$
begin{aligned}
(1101)_2^2 &= (1100 + 0001)^2
&= 1100^2 + 2 cdot 1100 cdot 1 + 1^2
&= 10010000 + 001100 + 000001
&= 10021001 quad text{(结果)}
end{aligned}
$$
这种方法通过减少乘法次数提高效率。
二、转换为十进制后平方
二进制转十进制
先将二进制数转换为十进制数，计算平方后再转换回二进制。例如 $（1011）_2$：
$$
(1011)_2 = 1 cdot 2^3 + 0 cdot 2^2 + 1 cdot 2^1 + 1 cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}
$$
然后计算平方：
$$
11_{10}^2 = 121_{10}
$$
最后将结果转换回二进制：
$$
121_{10} = 1111001_2
$$
注意：此方法适用于较大数的高效计算，但涉及多次进制转换。
三、快速幂算法（适用于大数）
对于非常大的数，可以使用快速幂算法结合二进制分解来提高效率。例如计算 $（1011）_2^3$：
1. 将指数3表示为二进制：$3_{10} = 11_2$
2. 计算平方：$（1011）_2^2 = 1001_2$
3. 再乘以原数：$1001_2 times 1011_2 = 1010101_2$
具体步骤：
$$
begin{aligned}
1001_2 times 1011_2 &= (1000 + 0001) times (1000 + 0011)
&= 1000^2 + 1000 cdot 11 + 11 cdot 1000 + 11 cdot 11
&= 1000000 + 11000 + 11000 + 121
&= 1010101_2
end{aligned}
$$
该方法通过减少乘法次数显著提升效率。
总结
二进制平方计算可通过直接乘法