幸运数字定义
幸运数字是指只包含数字4和7的整数序列。例如，序列开始为1, 4, 7, 44, 47, 74, 77, 444, 447, 474, 477, ...。
转换为二进制的方法
确定幸运数字的位数：
- 使用对数方法确定幸运数字的二进制表示的位数。例如，对于第n个幸运数字，可以通过计算 $lfloor log_2(n) rfloor + 1$ 来确定其位数。
确定幸运数字的二进制表示：
- 根据幸运数字的位数，可以确定其二进制表示的形式。例如，第n个幸运数字的二进制表示的前半部分全是4，后半部分全是7。
具体转换步骤：
- 将幸运数字n转换为二进制表示。
- 如果n的二进制表示的最高位是1，则需要特殊处理，去掉最高位的1后，剩余部分直接转换为二进制并输出。
示例
假设我们要找到第k个幸运数字的二进制表示：
1. 计算幸运数字的位数：
```cpp
int length = floor(log2(k)) + 1;
```
2. 确定二进制表示：
- 前半部分全是4，后半部分全是7。
3. 转换为二进制并输出：
```cpp
string binaryRepresentation;
while (k > 0) {
int remainder = k % 2;
if (remainder == 0) {
binaryRepresentation = "0" + binaryRepresentation;
} else {
binaryRepresentation = "4" + binaryRepresentation;
}
k = (k - remainder) / 2;
}
```
4. 处理最高位的1：
- 如果最高位是1，去掉后输出剩余部分。
代码示例
以下是一个简单的C++代码示例，展示了如何将第k个幸运数字转换为二进制表示：
```cpp
include include include using namespace std; string luckyNumberToBinary(long long k) { int length = floor(log2(k)) + 1; string binaryRepresentation = ""; while (k > 0) { int remainder = k % 2; if (remainder == 0) { binaryRepresentation = "0" + binaryRepresentation; } else { binaryRepresentation = "4" + binaryRepresentation; } k = (k - remainder) / 2; } // 处理最高位的1 if (binaryRepresentation.length() > 1 && binaryRepresentation[0] == '1') { binaryRepresentation = binaryRepresentation.substr(1); } return binaryRepresentation; } int main() { long long k; cout << "Enter the k-th lucky number: "; cin >> k; string binary = luckyNumberToBinary(k); cout << "Binary representation: " << binary << endl; return 0; } ``` 通过上述步骤和代码示例，可以将任意第k个幸运数字转换为二进制表示。