根据代数基本定理和 Descartes' Rule of Signs（笛卡尔符号法则），可以通过多项式系数的正负号变化来估计正根的个数。以下是具体方法：
一、正根个数的判断方法
系数正负号交替次数
将多项式按降幂排列，统计相邻系数正负号交替的次数。例如，对于多项式
$$p(x) = x^6 + 3x^5 - 4x^4 + 6x^3 + 7x - 10$$
其系数序列为：+1, +3, -4, +6, +7, -10
正负号交替了3次，因此正根的个数最多为3个。若交替次数为偶数，则正根个数为0或偶数。
特殊情况说明
- 若多项式在 $x = 0$ 处有根（即常数项为0），则需单独考虑。 - 实际根的个数可能少于理论值，需结合其他方法进一步确认。
二、负根个数的判断方法
替换变量法
将 $x$ 替换为 $-x$，得到新多项式 $p（-x）$，再统计其系数正负号交替的次数。例如：
$$p(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^5 - 4(-x)^4 + 6(-x)^3 + 7(-x) - 10 = x^6 - 3x^5 - 4x^4 - 6x^3 - 7x - 10$$
其系数序列为：+1, -3, -4, -6, -7, -10
正负号仅交替1次，因此负根个数为1个。
三、注意事项
该方法仅提供根的 最大可能个数，实际根的个数需通过数值方法（如牛顿迭代法）或图形法进一步确认。
对于高次多项式，建议结合数学软件（如MATLAB、Python等）进行精确求解。
通过以上方法，可快速估算多项式正根的个数，为后续分析提供初步方向。