二进制算术运算是计算机科学的基础，其核心规则和概念如下：
一、基本概念
数制基础
二进制由0和1组成，采用逢二进一的进位规则。例如：
- $1 + 1 = 10$（向高位进位）
- $10 - 1 = 11$（借位操作）
位权与表示
二进制数按位权展开，从右到左依次为$2^0, 2^1, 2^2, dots$。例如：
- $1011_2 = 1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 11_{10}$
二、基本运算规则
加法运算
- 按位相加，逢二进一。例如：
$$1011 + 1101 = 11000$$
- 需注意无符号数限制，减法需被减数大于减数
减法运算
- 采用模二加法（即借位为加1）：
$$10 - 1 = 11$$
- 负数无法表示（无符号数）
乘法运算
- 通过左移被乘数并累加：
$$11 times 2 = (11 times 10) + 11 = 1010_2$$
- 也可按位相乘后累加
除法运算
- 采用逐位减法或位移操作：
$$1010 div 2 = 101_2$$
- 除以2相当于右移一位
三、特殊说明
无符号数与有符号数
无符号数仅表示非负数，运算时无需考虑符号位。有符号数采用补码表示，最高位为符号位（0表示正，1表示负）。
实际应用
二进制运算因硬件实现简单，成为计算机内部运算的基础，同时支持高效的数据存储和传输。
通过掌握这些规则，可以理解计算机如何高效处理数据。