二进制是一种以2为基数的数制，使用0和1两个数码表示数值。以下是关于二进制的基本知识：
一、基本概念
表示方法 二进制数通过位权展开式表示，例如二进制数`110.11`的位权展开式为：
$$1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 0 times 2^0 + 1 times 2^{-1} + 1 times 2^{-2}$$
其中，整数部分从右到左依次为$2^0, 2^1, 2^2, dots$，小数部分从左到右依次为$2^{-1}, 2^{-2}, dots$。
书写规范
- 数字右下方标注基数2（如$（10110011）_2$）或加后缀`B`（如`10110011B`）。
二、运算规则
加法运算
采用逐位相加并进位的方式，规则与十进制相同（逢二进一）：
$$begin{array}{c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 + & 0 & 1 & 1 hline & 1 & 0 & 0 & 1 end{array}$$
需注意借位规则（如$1+1=10$）。
减法运算
从高位借1当2，规则与十进制一致：
$$begin{array}{c@{}c@{}c} & 1 & 0 & 1 - & 0 & 1 & 1 hline & 0 & 1 & 0 end{array}$$
借位后需继续运算。
三、与其他进制的转换
二进制转十进制
采用按权展开法，例如$（11100101）_2$：
$$1 times 2^7 + 1 times 2^6 + 1 times 2^5 + 0 times 2^4 + 0 times 2^3 + 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0 = 229_{10}$$。
十进制转二进制
- 短除法： 不断除以2记录余数（如229÷2=114余1，114÷2=57余0，依此类推）。 - 分段转换
四、应用场景
二进制是计算机底层运算的基础，主要应用包括：
数据存储：0表示关闭状态（如电路无电流），1表示开启状态。
运算简化：二进制运算规则简单，适合硬件实现。
进制转换：便于不同数制间的转换（如十进制转二进制时常用补码表示负数）。
以上内容综合了二进制的基本定义、运算方法及应用场景，涵盖数学和计算机领域的核心知识。