二进制汉明码是一种用于检测和纠正数据传输中单比特错误的线性纠错码，由理查德·汉明于1950年提出。其核心思想是通过增加冗余校验位来检测并修正数据中的错误，确保数据传输的可靠性。以下是关键要点：
基本定义 
汉明码通过将数据位与校验位组合形成冗余码字，其中校验位位置为2的幂次方（如1、2、4等），总长度为n=k+r（数据位k+校验位r）。该码能检测并纠正单一比特错误，但无法处理多比特错误。
核心原理
- 校验机制： 通过奇偶校验规则生成校验位，使得任意r个校验位覆盖的码字位置中，1的个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。若传输过程中发生单比特错误，会导致校验位违反奇偶性，从而被检测出来。
- 纠错能力：利用r个校验位与数据位的线性关系，通过解方程组确定错误位置并修正，仅需检测到错误即可完成纠错。
编码规则 - 校验位计算：
设数据位为k，校验位为r，则需满足2^r ≥ n=k+r+1。例如，数据位7时，需3位校验位（总长度10），形成7+3=10位码字。
- 位置分配：校验位位置为2^0、2^1、2^2等幂次方，数据位填充剩余位置。
应用场景
广泛应用于计算机内存（RAM）、通信系统（如电信领域）等需要高可靠性的场景，尤其适合低误码率环境下的错误检测与纠正。
总结：
汉明码通过巧妙设计冗余校验位，实现了对单比特错误的自动检测与纠正，是现代通信和存储系统中重要的纠错技术。