二进制世界里

在二进制系统中，数字的表示和运算规则如下：

一、二进制的基本概念

符号体系

二进制仅使用两个数字： 0和 1。这种简化设计使得电子电路中的高电平（如1）和低电平（如0）能够清晰表示两种状态。

数制转换

- 二进制转十进制：

按权展开法，例如二进制数 1011转换为十进制为：

$$1 times 2^3 + 0 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$$

- 十进制转二进制：除基取余法，例如十进制数 5转换为二进制为 101（即 $5 = 1 times 2^2 + 0 times 2^1 + 1 times 2^0$）。

二、二进制的核心特性

运算规则

- 加法：

逢二进一，例如 $1 + 1 = 10$（二进制）

- 乘法：任何数乘以0为0，任何数乘以1为其本身

- 表示能力：通过不同组合可表示任意十进制数，例如十进制数 255对应二进制 11111111。

与十进制的对比

十进制使用0-9共10个符号，而二进制仅需2个符号，简化了电子电路的实现。十六进制（0-9，A-F）作为中间转换形式，常用于简化二进制表示（如每4位二进制对应1位十六进制）。

三、二进制的应用场景

计算机内部：

所有数据存储和运算均以二进制形式进行

文件权限：八进制用于表示文件权限（如755表示可读、可写、可执行权限）

编程语言：Python等语言支持二进制、八进制、十进制和十六进制转换

四、历史背景

二进制系统的设计源于17世纪，由戈特弗里德·莱布尼茨提出，后经数学家和工程师不断优化，成为现代计算机的基础。其简洁性和与物理世界的契合度，使其成为信息技术的核心数制。