二进制补码表示负数的方法具有以下核心优势，这些优势源于其数学特性和计算机系统的设计需求：
一、简化运算规则
统一加法运算
补码将减法转换为加法，避免了传统计算机中需要单独处理负数的复杂逻辑。例如，计算 `-5 + 3` 可以直接按 `5 - 3` 处理，无需特殊指令。
避免符号位处理
补码系统无需单独处理符号位，所有数值（正负）均通过相同的加法规则运算，简化了硬件设计。
二、扩展表示范围
无符号数与有符号数的统一
在8位系统中，无符号数最大值为255，而有符号数最小可表示-128。补码设计使得-128可以用全1表示（即 `10000000`），避免了0被重复表示为+0和-0的问题。
动态范围调整
通过增加位数（如16位、32位等），补码可表示更大范围的数值，同时保持负数表示的完整性。
三、数学上的合理性
补码与原码的关系
补码的定义确保了原码、反码和补码之间的转换规则统一。例如，8位补码中，-127的补码为 `01111111`，而-128的补码为 `10000000`，符合“全1减1加1”的规则。
取反加一的数学依据
补码的“取反加一”规则与二进制的补数系统一致，确保了加法运算的封闭性。例如，`11111111`（-1）的补码为 `00000001`（1），符合数学上的补数定义。
四、硬件实现的效率
减少运算步骤
由于加法运算比减法更简单且硬件实现更高效，补码系统显著降低了计算复杂度。
兼容性与扩展性
补码作为计算机领域的通用标准，便于不同系统和硬件平台的兼容，同时支持动态扩展位数以适应更大数值需求。
综上，二进制补码通过简化运算规则、扩展表示范围、保持数学一致性和提升硬件效率，成为计算机系统中表示负数的最优方案。