小数转换为二进制时采用“乘2取整”法，其核心原理基于2的幂次展开特性。以下是具体原因和步骤说明：
一、乘2取整的数学基础
2的幂次特性
二进制系统是逢2进1的计数系统，与十进制逢10进1类似。将小数部分乘以2，相当于将其按2的幂次展开。例如：
- $0.5 times 2 = 1$（即 $2^{-1}$）
- $0.25 times 2 = 0.5 times 2 = 1$（即 $2^{-2}$）
- $0.125 times 2 = 0.25 times 2 = 0.5 times 2 = 1$（即 $2^{-3}$）
通过不断乘以2，可以将小数部分转换为二进制位。
分数表示
十进制小数可以表示为分数形式，例如0.5等于$frac{1}{2}$，0.25等于$frac{1}{4}$（即$2^{-2}$），0.125等于$frac{1}{8}$（即$2^{-3}$）。乘以2的操作实际上是将这些分数转换为二进制分数。
二、转换步骤说明
整数部分与小数部分分开
先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换为二进制，然后再合并结果。
小数部分转换
- 用2乘以小数部分，取积的整数部分作为二进制位；
- 将余下的小数部分继续乘以2，重复上述过程，直到小数部分为0或达到所需精度。
示例说明
以0.625为例：
- $0.625 times 2 = 1.25$，整数部分1对应二进制位；
- $0.25 times 2 = 0.5$，整数部分0对应二进制位；
- $0.5 times 2 = 1.0$，整数部分1对应二进制位；
最终结果为0.101。
三、注意事项
循环小数处理
若乘2后出现循环小数（如0.1转换为二进制为0.000110011001...），则根据精度要求截断或保留循环部分。
精度控制
实际应用中需设定精度位数，例如保留8位小数时，若第9位为5或更大，则第8位进1。
四、总结
乘2取整法的本质是利用2的幂次特性，将十进制小数分解为二进制分数之和。通过不断乘以2并取整，可以系统地将小数部分转换为二进制位，从而实现精确转换。